Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.4.1

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.2.1.4.1.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.4.1.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.4.3

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.2

Remettez dans l’ordre

$- 2 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez

$1$ de

$6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5) + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Additionnez

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$ et

$0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.1

Développez

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.7

Multipliez

$- λ \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.2.7.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 1 λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.2.7.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.3

Associez les termes opposés dans

$- 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.3.1

Additionnez

$- 2 λ^{2}$ et

$2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + 0 + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.3.2

Additionnez

$4 λ + 2 - λ^{3}$ et

$0$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.4

Additionnez

$4 λ$ et

$λ$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ + 5)$

Étape 1.5.5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 5$

Étape 1.5.5.2.6

Multipliez

$- 3$ par

$- 3$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 3 \cdot 5$

Étape 1.5.5.2.7

Multipliez

$- 3$ par

$5$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 15$

Étape 1.5.5.3

Additionnez

$5 λ$ et

$9 λ$ .

$p (λ) = 14 λ + 2 - λ^{3} - 15$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez

$15$ de

$2$ .

$p (λ) = 14 λ - λ^{3} - 13$

Étape 1.5.5.5

Remettez dans l’ordre

$14 λ$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ - 13$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ - 13 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- λ^{3} + 14 λ - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1.1

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) + 14 λ - 13 = 0$

Étape 1.7.1.1.2

Factorisez

$- 1$ à partir de

$14 λ$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 13 = 0$

Étape 1.7.1.1.3

Réécrivez

$- 13$ comme

$- 1 (13)$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Étape 1.7.1.1.4

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (λ^{3}) - (- 14 λ)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Étape 1.7.1.1.5

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 (13)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ + 13) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez.

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez

$λ^{3} - 14 λ + 13$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 13$

Étape 1.7.1.2.1.3

Remplacez

$1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.2.1.3.1

Remplacez

$1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 14 \cdot 1 + 13$

Étape 1.7.1.2.1.3.2

Élevez

$1$ à la puissance

$3$ .

$1 - 14 \cdot 1 + 13$

Étape 1.7.1.2.1.3.3

Multipliez

$- 14$ par

$1$ .

$1 - 14 + 13$

Étape 1.7.1.2.1.3.4

Soustrayez

$14$ de

$1$ .

$- 13 + 13$

Étape 1.7.1.2.1.3.5

Additionnez

$- 13$ et

$13$ .

$0$

Étape 1.7.1.2.1.4

Comme

$1$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 14 λ + 13}{λ - 1}$

Étape 1.7.1.2.1.5

Divisez

$λ^{3} - 14 λ + 13$ par

$λ - 1$ .

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Étape 1.7.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$14 λ$

$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$λ^{3} - λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$λ^{2} - λ$

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 13 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							-	$13 λ$	+	$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 13 λ + 13$

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$

Étape 1.7.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$
										$0$

Étape 1.7.1.2.1.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} + λ - 13$

Étape 1.7.1.2.1.6

Écrivez

$λ^{3} - 14 λ + 13$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((λ - 1) (λ^{2} + λ - 13)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ - 1 = 0$

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez

$λ - 1$ égal à

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 1.7.4

Définissez

$λ^{2} + λ - 13$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

$λ^{2} + λ - 13$ égal à

$0$ .

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez

$λ^{2} + λ - 13 = 0$ pour

$λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.4.2.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = 1$ et

$c = - 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 1.7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot - 13$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 13$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.3

Additionnez

$1$ et

$52$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2}$

Étape 1.7.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$ vraie.

$λ = 1, - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez

$1$ de

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez

$0$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez

$0$ de

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez

$0$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.5

Soustrayez

$1$ de

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.6

Soustrayez

$0$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.7

Soustrayez

$0$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.8

Soustrayez

$0$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.9

Soustrayez

$1$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Pour écrire

$- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Associez

$- 2$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.4.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.2

Additionnez

$- 4$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Réécrivez

$- 3$ comme

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- \sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (3) - (\sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Soustrayez

$- \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ de

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.14

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.16

Pour écrire

$2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.17

Associez

$2$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.19.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.19.2

Additionnez

$4$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} (- \frac{3 + \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} (- \frac{8 + \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 + \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} + \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z - \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

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Étape 5.2.3.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.12

Additionnez $0$ et $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.13

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.16

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.17

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.19.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.19.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} (- \frac{3 - \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} (- \frac{8 - \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 - \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} - \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z + \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$